First Missing Positive

Tags: Array, Hard

Question

Problem Statement

Given an unsorted integer array, find the first missing positive integer.

For example,
Given [1,2,0] return 3,
and [3,4,-1,1] return 2.

Your algorithm should run in O(n) time and uses constant space.

题解

容易想到的方案是先排序，然后遍历求得缺的最小整数。排序算法中常用的基于比较的方法时间复杂度的理论下界为 O(n \log n), 不符题目要求。常见的能达到线性时间复杂度的排序算法有 基数排序，计数排序 和 桶排序。

基数排序显然不太适合这道题，计数排序对元素落在一定区间且重复值较多的情况十分有效，且需要额外的 O(n) 空间，对这道题不太合适。最后就只剩下桶排序了，桶排序通常需要按照一定规则将值放入桶中，一般需要额外的 O(n) 空间，咋看一下似乎不太适合在这道题中使用，但是若能设定一定的规则原地交换原数组的值呢？这道题的难点就在于这种规则的设定。

设想我们对给定数组使用桶排序的思想排序，第一个桶放1，第二个桶放2，如果找不到相应的数，则相应的桶的值不变(可能为负值，也可能为其他值)。

那么怎么才能做到原地排序呢？即若 A[i] = x, 则将 x 放到它该去的地方 - A[x - 1] = x, 同时将原来 A[x - 1] 地方的值交换给 A[i].

排好序后遍历桶，如果不满足 f[i] = i + 1, 那么警察叔叔就是它了！如果都满足条件怎么办？那就返回给定数组大小再加1呗。

C++

  1. class Solution {
  2. public:
  3.     /**
  4.      * @param A: a vector of integers
  5.      * @return: an integer
  6.      */
  7.     int firstMissingPositive(vector<int> A) {
  8.         const int size = A.size();
  10.         for (int i = 0; i < size; ++i) {
  11.             while (A[i] > 0 && A[i] <= size && \
  12.                   (A[i] != i + 1) && (A[i] != A[A[i] - 1])) {
  13.                 int temp = A[A[i] - 1];
  14.                 A[A[i] - 1] = A[i];
  15.                 A[i] = temp;
  16.             }
  17.         }
  19.         for (int i = 0; i < size; ++i) {
  20.             if (A[i] != i + 1) {
  21.                 return i + 1;
  22.             }
  23.         }
  25.         return size + 1;
  26.     }
  27. };

Java

  1. public class Solution {
  2.     public int firstMissingPositive(int[] nums) {
  3.         if (nums == null) return -1;
  5.         for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
  6.             while (nums[i] > 0 
  7.                    && nums[i] <= nums.length
  8.                    && nums[i] != i + 1
  9.                    && (nums[i] != nums[nums[i] - 1])) {
  11.                     int temp = nums[nums[i] - 1];
  12.                     nums[nums[i] - 1] = nums[i];
  13.                     nums[i] = temp;
  14.             }
  15.         }
  17.         for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
  18.             if (nums[i] != i + 1) return i + 1;
  19.         }
  21.         return 1 + nums.length;
  22.     }
  23. }

源码分析

核心代码为那几行交换，但是要很好地处理各种边界条件则要下一番功夫了，要能正常的交换，需满足以下几个条件：

  1. A[i] 为正数，负数和零都无法在桶中找到生存空间…
  2. A[i] \leq size 当前索引处的值不能比原数组容量大，大了的话也没用啊，肯定不是缺的第一个正数。
  3. A[i] != i + 1, 已满足条件了无需交换。
  4. A[i] != A[A[i] - 1], 避免欲交换的值和自身相同，否则有重复值时会产生死循环。

如果满足以上四个条件就可以愉快地交换彼此了，使用while循环处理，此时i并不自增，直到将所有满足条件的索引处理完。

注意交换的写法，若写成

  1. int temp = A[i];
  2. A[i] = A[A[i] - 1];
  3. A[A[i] - 1] = temp;

这又是满满的 bug :( 因为在第三行中A[i]已不再是之前的值，第二行赋值时已经改变，故源码中的写法比较安全。

最后遍历桶排序后的数组，若在数组大小范围内找到不满足条件的解，直接返回，否则就意味着原数组给的元素都是从1开始的连续正整数，返回数组大小加1即可。

复杂度分析

「桶排序」需要遍历一次原数组，考虑到while循环也需要一定次数的遍历，故时间复杂度至少为 O(n). 最后求索引值最多遍历一次排序后数组，时间复杂度最高为 O(n), 用到了temp作为中间交换变量，空间复杂度为 O(1).

Reference