四、牛顿法

1. 梯度下降法有个缺陷：它未能利用海森矩阵的信息。

   • 当海森矩阵的条件数较大时，不同方向的梯度的变化差异很大。

     • 在某些方向上，梯度变化很快；在有些方向上，梯度变化很慢。

     • 梯度下降法未能利用海森矩阵，也就不知道应该优先搜索导数长期为负或者长期为正的方向。

       本质上应该沿着负梯度方向搜索。但是沿着该方向的一段区间内，如果导数一直为正或者一直为负，则可以直接跨过该区间。前提是：必须保证该区间内，该方向导数不会发生正负改变。

   • 当海森矩阵的条件数较大时，也难以选择合适的步长。

     • 步长必须足够小，从而能够适应较强曲率的地方（对应着较大的二阶导数，即该区域比较陡峭）。
     • 但是如果步长太小，对于曲率较小的地方（对应着较小的二阶导数，即该区域比较平缓）则推进太慢。

2. 下图是利用梯度下降法寻找函数最小值的路径。该函数是二次函数，海森矩阵条件数为 5，表明最大曲率是最小曲率的5倍。红线为梯度下降的搜索路径。

   它没有用最速下降法，而是用到线性搜索。如果是最速下降法，则相邻两次搜索的方向正交。

   

3. 牛顿法结合了海森矩阵。

   考虑泰勒展开式： 。其中 为 处的梯度； 为 处的海森矩阵。

   如果 为极值点，则有： ，则有： 。

   • 当 是个正定的二次型，则牛顿法直接一次就能到达最小值点。
   • 当 不是正定的二次型，则可以在局部近似为正定的二次型，那么则采用多次牛顿法即可到达最小值点。

4. 一维情况下，梯度下降法和牛顿法的原理展示：

   

   • 梯度下降法：下一次迭代的点 。

     对于一维的情况，可以固定 。由于随着迭代的推进， 绝对值是减小的（直到0），因此越靠近极值点， 越小。

   • 牛顿法：目标是 。

     在一维情况下就是求解 。牛顿法的方法是：以 做 切线，该切线过点 。该切线在 轴上的交点就是： 。

     推广到多维情况下就是： 。

5. 当位于一个极小值点附近时，牛顿法比梯度下降法能更快地到达极小值点。

   如果在一个鞍点附近，牛顿法效果很差，因为牛顿法会主动跳入鞍点。而梯度下降法此时效果较好（除非负梯度的方向刚好指向了鞍点）。

6. 仅仅利用了梯度的优化算法（如梯度下降法）称作一阶优化算法，同时利用了海森矩阵的优化算法（如牛顿法）称作二阶优化算法。

7. 牛顿法算法：

   • 输入：

     • 目标函数
     • 梯度
     • 海森矩阵
     • 精度要求

   • 输出： 的极小值点

   • 算法步骤：

     • 选取初始值 , 置 。

     • 迭代，停止条件为：梯度收敛。迭代步骤为：

       • 计算 。

       • 若 ， 则停止计算，得到近似解 。

       • 若 ， 则：

         • 计算 ，并求 ，使得： 。
         • 置 。
         • 置 ，继续迭代。

8. 梯度下降法中，每一次 增加的方向一定是梯度相反的方向 。增加的幅度由 决定，若跨度过大容易引发震荡。

   而牛顿法中，每一次 增加的方向是梯度增速最大的反方向 （它通常情况下与梯度不共线）。增加的幅度已经包含在 中（也可以乘以学习率作为幅度的系数）。

   

9. 深度学习中的目标函数非常复杂，无法保证可以通过上述优化算法进行优化。因此有时会限定目标函数具有Lipschitz连续，或者其导数Lipschitz连续。

   • Lipschitz连续的定义：对于函数 ，存在一个Lipschitz常数 ，使得：

   

   • Lipschitz连续的意义是：输入的一个很小的变化，会引起输出的一个很小的变化。

     与之相反的是：输入的一个很小的变化，会引起输出的一个很大的变化

10. 凸优化在某些特殊的领域取得了巨大的成功。但是在深度学习中，大多数优化问题都难以用凸优化来描述。

    凸优化的重要性在深度学习中大大降低。凸优化仅仅作为一些深度学习算法的子程序。