4. 多项式

1. 一元多项式类的构造：（注意系数按照次数从高次到低次排列）

   class numpy.poly1d(c_or_r, r=0, variable=None)

   • c_or_r：一个数组或者序列。其意义取决于r
   • r：布尔值。如果为True，则c_or_r指定的是多项式的根；如果为False，则c_or_r指定的是多项式的系数
   • variable：一个字符串，指定了打印多项式时，用什么字符代表自变量。默认为x

   多项式的属性有：

   • .coeffs属性：多项式的系数
   • .order属性：多项式最高次的次数
   • .variable属性：自变量的代表字符

   多项式的方法有：

   • .deriv(m=1)方法：计算多项式的微分。可以通过参数m指定微分次数
   • .integ(m=1,k=0)方法：计算多项式的积分。可以通过参数m指定积分次数和k积分常量

   

2. 操作一元多项式类的函数：

   • 多项式对象可以像函数一样，返回多项式的值
   • 多项式对象进行加减乘除，相当于对应的多项式进行计算。也可以使用对应的numpy.polyadd/polysub/polymul/polydiv/函数。
   • numpy.polyder/numpy.polyint：进行微分/积分操作
   • numpy.roots函数：求多项式的根（也可以通过p.r方法）

   

3. 使用np.polyfit(x, y, deg, rcond=None, full=False, w=None, cov=False)函数可以对一组数据使用多项式函数进行拟合（最小均方误差）。其参数为：

   • x：数据点的x坐标序列
   • y：数据点的y坐标序列。如果某个x坐标由两个点，你可以传入一个二维数组。
   • deg：拟合多项式的次数
   • rcond：指定了求解过程中的条件：当某个特征值/最大特征值<rcond时，该特征值被抛弃
   • full：如果为False，则仅仅返回拟合多项式的系数；如果为True，则更多的结果被返回
   • w：权重序列。它对y序列的每个位置赋予一个权重
   • cov：如果为True，则返回相关矩阵。如果full为True，则不返回。

   默认情况下，返回两个数组：一个是拟合多项式的系数；另一个是数据的相关矩阵

   

4. numpy提供了更丰富的多项式函数类。注意其中的多项式的系数按照次数从小到大排列。

   • numpy.polynomial.Polynomial：一元多次多项式
   • numpy.polynomial.Chebyshev：切比雪夫多项式
   • numpy.polynomial.Laguerre：拉盖尔多项式
   • numpy.polynomial.Legendre：勒让德多项式
   • numpy.polynomial.Hermite：哈米特多项式
   • numpy.polynomial.HermiteE：HermiteE多项式

   所有的这些多项式的构造函数为： XXX(coef, domain=None, window=None)。其中XXX为多项式类名。domain为自变量取值范围，默认为[-1,1]。window指定了将domain映射到的范围，默认为[-1,1]。

   如切比雪夫多项式在[-1,1]上为正交多项式。因此只有在该区间上才能正确插值拟合多项式。为了使得对任何区域的目标函数进行插值拟合，所以在domain指定拟合的目标区间。

   所有的这些多项式可以使用的方法为：

   • 四则运行
   • .basis(deg[, domain, window])：获取转换后的一元多项式
   • .convert(domain=None, kind=None, window=None)：转换为另一个格式的多项式。kind为目标格式的多项式的类
   • .degree()：返回次数
   • .fit(x, y, deg[, domain, rcond, full, w, window])：拟合数据，返回拟合后的多项式
   • .fromroots(roots[, domain, window])：从根创建多项式
   • .has_samecoef(other)、.has_samedomain(other)、.has_sametype(other) 、.has_samewindow(other)：判断是否有相同的系数/domain/类型/window
   • .roots()：返回多项式的根
   • .trim([tol])：将系数小于 tol的项截掉
   • 函数调用的方式

   

5. 切比雪夫多项式可以降低龙格现象。所谓龙格现象：等距离差值多项式在两个端点处有非常大的震荡，n越大，震荡越大。