题目描述（困难难度）

10. Regular Expression Matching - 图1

一个简单规则的匹配，「点.」代表任意字符，「星号*」 代表前一个字符重复 0 次或任意次。

解法一 递归

假如没有通配符 * ，这道题的难度就会少了很多，我们只需要一个字符，一个字符匹配就行。如果对递归不是很了解，强烈建议看下这篇文章，可以理清一下递归的思路。

  • 我们假设存在这么个函数 isMatch，它将告诉我们 text 和 pattern 是否匹配

    boolean isMatch ( String text, String pattern ) ;

  • 递归规模减小

    text 和 pattern 匹配，等价于 text 和 patten 的第一个字符匹配并且剩下的字符也匹配，而判断剩下的字符是否匹配，我们就可以调用 isMatch 函数。也就是

    1. (pattern.charAt(0) == text.charAt(0) || pattern.charAt(0) == '.')&&isMatch(text.substring(1), pattern.substring(1));

  • 递归出口

    随着规模的减小， 当 pattern 为空时，如果 text 也为空，就返回 True，不然的话就返回 False 。

    1. if (pattern.isEmpty()) return text.isEmpty();

综上，我们的代码是

  1. public boolean isMatch(String text, String pattern) {
  2.         if (pattern.isEmpty()) return text.isEmpty();
  4.         //判断 text 是否为空，防止越界，如果 text 为空， 表达式直接判为 false, text.charAt(0)就不会执行了
  5.         boolean first_match = (!text.isEmpty() &&
  6.                                (pattern.charAt(0) == text.charAt(0) || pattern.charAt(0) == '.'));
  7.         return first_match && isMatch(text.substring(1), pattern.substring(1));
  8.     }

当我们考虑了 * 呢，对于递归规模的减小，会增加对于 * 的判断，直接看代码吧。

  1. public boolean isMatch(String text, String pattern) {
  2.         if (pattern.isEmpty()) return text.isEmpty();
  4.         boolean first_match = (!text.isEmpty() &&
  5.                                (pattern.charAt(0) == text.charAt(0) || pattern.charAt(0) == '.'));
  6.         //只有长度大于 2 的时候，才考虑 *
  7.         if (pattern.length() >= 2 && pattern.charAt(1) == '*'){
  8.             //两种情况
  9.             //pattern 直接跳过两个字符。表示 * 前边的字符出现 0 次
  10.             //pattern 不变，例如 text = aa ，pattern = a*，第一个 a 匹配，然后 text 的第二个 a 接着和 pattern 的第一个 a 进行匹配。表示 * 用前一个字符替代。
  11.             return (isMatch(text, pattern.substring(2)) ||
  12.                     (first_match && isMatch(text.substring(1), pattern)));
  13.         } else {
  14.             return first_match && isMatch(text.substring(1), pattern.substring(1));
  15.         }
  16.     }

时间复杂度：有点儿小复杂，待更。

空间复杂度：有点儿小复杂，待更。

解法二 动态规划

上边的递归，为了方便理解，简化下思路。

为了判断 text [ 0，len ] 的情况，需要知道 text [ 1，len ]

为了判断 text [ 1，len ] 的情况，需要知道 text [ 2，len ]

为了判断 text [ 2，len ] 的情况，需要知道 text [ 3，len ]

…

为了判断 text [ len - 1，len ] 的情况，需要知道 text [ len，len ]

text [ len，len ] 肯定好求

求出 text [ len，len ] 的情况，就知道了 text [ len - 1，len ]

求出 text [ len - 1，len ] 的情况，就知道了 text [ len - 2，len ]

…

求出 text [ 2，len ] 的情况，就知道了 text [1，len ]

求出 text [ l1，len ] 的情况，就知道了 text [ 0，len ]

从而知道了 text [ 0，len ] 的情况，求得问题的解。

上边就是先压栈，然后出栈，其实我们可以直接倒过来求，可以省略压栈的过程。

我们先求 text [ len，len ] 的情况

利用 text [ len，len ] 的情况 ，再求 text [ len - 1，len ] 的情况

…

利用 text [ 2，len ] 的情况 ，再求 text [ 1，len ] 的情况

利用 text [1，len ] 的情况 ，再求 text [ 0，len ] 的情况

从而求出问题的解

我们用

10. Regular Expression Matching - 图2

表示 text 从 i 开始到最后，pattern 从 j 开始到最后，此时 text 和 pattern 是否匹配。

10. Regular Expression Matching - 图3

10. Regular Expression Matching - 图4

就是图中橙色的部分.

  1. public boolean isMatch(String text, String pattern) {
  2.     // 多一维的空间，因为求 dp[len - 1][j] 的时候需要知道 dp[len][j] 的情况，
  3.     // 多一维的话，就可以把 对 dp[len - 1][j] 也写进循环了
  4.     boolean[][] dp = new boolean[text.length() + 1][pattern.length() + 1];
  5.     // dp[len][len] 代表两个空串是否匹配了，"" 和 "" ，当然是 true 了。
  6.     dp[text.length()][pattern.length()] = true;
  8.     // 从 len 开始减少
  9.     for (int i = text.length(); i >= 0; i--) {
  10.         for (int j = pattern.length(); j >= 0; j--) {
  11.             // dp[text.length()][pattern.length()] 已经进行了初始化
  12.             if(i==text.length()&&j==pattern.length()) continue;
  14.             boolean first_match = (i < text.length() && j < pattern.length()
  15.                                    && (pattern.charAt(j) == text.charAt(i) || pattern.charAt(j) == '.'));
  16.             if (j + 1 < pattern.length() && pattern.charAt(j + 1) == '*') {
  17.                 dp[i][j] = dp[i][j + 2] || first_match && dp[i + 1][j];
  18.             } else {
  19.                 dp[i][j] = first_match && dp[i + 1][j + 1];
  20.             }
  21.         }
  22.     }
  23.     return dp[0][0];
  24. }

时间复杂度：假设 text 的长度是 T，pattern 的长度是 P ，空间复杂度就是 O（TP）。

空间复杂度：申请了 dp 空间，所以是 O（TP），因为每次循环我们只需要知道 i 和 i + 1 时候的情况，所以我们可以向 第 5 题 一样进行优化。

  1.     public boolean isMatch(String text, String pattern) {
  2.         // 多一维的空间，因为求 dp[len - 1][j] 的时候需要知道 dp[len][j] 的情况，
  3.         // 多一维的话，就可以把 对 dp[len - 1][j] 也写进循环了
  4.         boolean[][] dp = new boolean[2][pattern.length() + 1]; 
  5.         dp[text.length()%2][pattern.length()] = true;
  7.         // 从 len 开始减少
  8.         for (int i = text.length(); i >= 0; i--) {
  9.             for (int j = pattern.length(); j >= 0; j--) {
  10.                 if(i==text.length()&&j==pattern.length()) continue;
  11.                 boolean first_match = (i < text.length() && j < pattern.length()
  12.                         && (pattern.charAt(j) == text.charAt(i) || pattern.charAt(j) == '.'));
  13.                 if (j + 1 < pattern.length() && pattern.charAt(j + 1) == '*') {
  14.                     dp[i%2][j] = dp[i%2][j + 2] || first_match && dp[(i + 1)%2][j];
  15.                 } else {
  16.                     dp[i%2][j] = first_match && dp[(i + 1)%2][j + 1];
  17.                 }
  18.             }
  19.         }
  20.         return dp[0][0];
  21.     }

时间复杂度：不变， O（TP）。

空间复杂度：主要用了两个数组进行轮换，O（P）。

总

这道题对于递归的解法，感觉难在怎么去求时间复杂度，现在还没有什么思路，以后再来补充吧。整体来说，只要理清思路，两种算法还是比较好理解的。

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