偏微分方程

TensorFlow 不仅仅是用来机器学习，它更可以用来模拟仿真。在这里，我们将通过模拟仿真几滴落入一块方形水池的雨点的例子，来引导您如何使用 TensorFlow 中的偏微分方程来模拟仿真的基本使用方法。

注：本教程最初是准备做为一个 IPython 的手册。

译者注:关于偏微分方程的相关知识，译者推荐读者查看 网易公开课 上的《麻省理工学院公开课：多变量微积分》课程。

基本设置

首先,我们需要导入一些必要的引用。

  1. #导入模拟仿真需要的库
  2. import tensorflow as tf
  3. import numpy as np
  5. #导入可视化需要的库
  6. import PIL.Image
  7. from cStringIO import StringIO
  8. from IPython.display import clear_output, Image, display

然后，我们还需要一个用于表示池塘表面状态的函数。

  1. def DisplayArray(a, fmt='jpeg', rng=[0,1]):
  2.   """Display an array as a picture."""
  3.   a = (a - rng[0])/float(rng[1] - rng[0])*255
  4.   a = np.uint8(np.clip(a, 0, 255))
  5.   f = StringIO()
  6.   PIL.Image.fromarray(a).save(f, fmt)
  7.   display(Image(data=f.getvalue()))

最后，为了方便演示，这里我们需要打开一个 TensorFlow 的交互会话（interactive session）。当然为了以后能方便调用，我们可以把相关代码写到一个可以执行的Python文件中。

  1. sess = tf.InteractiveSession()

定义计算函数

  1. def make_kernel(a):
  2.   """Transform a 2D array into a convolution kernel"""
  3.   a = np.asarray(a)
  4.   a = a.reshape(list(a.shape) + [1,1])
  5.   return tf.constant(a, dtype=1)
  7. def simple_conv(x, k):
  8.   """A simplified 2D convolution operation"""
  9.   x = tf.expand_dims(tf.expand_dims(x, 0), -1)
  10.   y = tf.nn.depthwise_conv2d(x, k, [1, 1, 1, 1], padding='SAME')
  11.   return y[0, :, :, 0]
  13. def laplace(x):
  14.   """Compute the 2D laplacian of an array"""
  15.   laplace_k = make_kernel([[0.5, 1.0, 0.5],
  16.                            [1.0, -6., 1.0],
  17.                            [0.5, 1.0, 0.5]])
  18.   return simple_conv(x, laplace_k)

定义偏微分方程

首先,我们需要创建一个完美的 500 × 500 的正方形池塘,就像是我们在现实中找到的一样。

  1. N = 500

然后，我们需要创建了一个池塘和几滴将要坠入池塘的雨滴。

  1. # Initial Conditions -- some rain drops hit a pond
  3. # Set everything to zero
  4. u_init = np.zeros([N, N], dtype="float32")
  5. ut_init = np.zeros([N, N], dtype="float32")
  7. # Some rain drops hit a pond at random points
  8. for n in range(40):
  9.   a,b = np.random.randint(0, N, 2)
  10.   u_init[a,b] = np.random.uniform()
  12. DisplayArray(u_init, rng=[-0.1, 0.1])

jpeg

现在，让我们来指定该微分方程的一些详细参数。

  1. # Parameters:
  2. # eps -- time resolution
  3. # damping -- wave damping
  4. eps = tf.placeholder(tf.float32, shape=())
  5. damping = tf.placeholder(tf.float32, shape=())
  7. # Create variables for simulation state
  8. U  = tf.Variable(u_init)
  9. Ut = tf.Variable(ut_init)
  11. # Discretized PDE update rules
  12. U_ = U + eps * Ut
  13. Ut_ = Ut + eps * (laplace(U) - damping * Ut)
  15. # Operation to update the state
  16. step = tf.group(
  17.   U.assign(U_),
  18.   Ut.assign(Ut_))

开始仿真

为了能看清仿真效果，我们可以用一个简单的 for 循环来远行我们的仿真程序。

  1. # Initialize state to initial conditions
  2. tf.initialize_all_variables().run()
  4. # Run 1000 steps of PDE
  5. for i in range(1000):
  6.   # Step simulation
  7.   step.run({eps: 0.03, damping: 0.04})
  8.   # Visualize every 50 steps
  9.   if i % 50 == 0:
  10.     clear_output()
  11.     DisplayArray(U.eval(), rng=[-0.1, 0.1])

jpeg

看！！ 雨点落在池塘中,和现实中一样的泛起了涟漪。

原文链接:http://tensorflow.org/tutorials/pdes/index.md 翻译:@wangaicc 校对:@tensorfly