5.4 复数和有理数

5.4.1 复数

Julia 预定义的复数类型是Complex。它是Number的直接子类型。为了构造出复数的虚部，Julia 还专门定义了一个常量im。这里的 im 是 imaginary 的缩写。它使用起来是这样的：

  1. julia> 1 + 2im; typeof(1+2im)
  2. Complex{Int64}
  4. julia> 1.1 + 2.2im; typeof(1.1+2.2im)
  5. Complex{Float64}
  7. julia>

可以看到，Complex是一个参数化的类型。因为在其名称的右侧还有一个由花括号包裹的类型参数。这个类型参数会是一个代表了某个类型的标识符。关于参数化类型，我们在下下一章就会讲到。

为了使常见的数学公式和表达式更加清晰，Julia 允许在变量之前紧挨一个数值字面量，以表示两个数相乘。比如，如果变量x的值是整数8，那么2x^3就表示2乘以8的3次方。又比如，2^3x表示2的24次方。在这种情况下，变量x就被称为数值字面量系数（numeric literal coefficient）。

正因为如此，我们才需要特别注意，上例中的2im和2.2im虽然看起来与这种表示法非常相似，但其含义却是完全不同的。整数或浮点数的字面量与常量im共同组成的是一个复数的虚部。而且还要注意，在构造复数的虚部时，我们就不能再使用数值字面量系数了。因为这肯定会产生歧义。比如，1 + 2xim就是不合法的，除非已经存在一个名为xim的变量，但如此一来这表示的就不是一个复数了。如果必须有变量参与复数的构造，那么我们可以使用complex函数，例如：complex(1, 2x)。

Julia 允许复数参与标准的数学运算。所以，下面的这些数学表达式是合法的：

  1. julia> (1 + 2im) + (3 + 4im)
  2. 4 + 6im
  4. julia> (1 + 2im) - (3 + 4im)
  5. -2 - 2im
  7. julia> (1 + 2im) * (3 + 4im)
  8. -5 + 10im
  10. julia> (1 + 2im) / (3 + 4im)
  11. 0.44 + 0.08im
  13. julia> 3(1 + 2im)^8
  14. -1581 + 1008im
  16. julia>

例子中的圆括号代表着对运算次序的设定。这与它在数学中的一般含义是一致的。

要想分别得到一个复数的实部和虚部，我们就需要调用real函数和imag函数。示例如下：

  1. julia> com1 = 1 + 2im 
  2. 1 + 2im
  4. julia> real(com1), imag(com1)
  5. (1, 2)
  7. julia>

另外，我们还可以利用conj函数求出一个复数的共轭（conjugate），以及使用abs函数计算出一个复数与0之间的距离，等等。总之，Julia 预定义的很多数学函数都可以应用于复数。

5.4.2 有理数

我们在前面说过，浮点数无法精确地表示所有小数。比如，1/3是一个无限循环小数，但用浮点数表示的话只能是这样的：

  1. julia> 1/3
  2. 0.3333333333333333
  4. julia> typeof(ans)
  5. Float64
  7. julia>

严格来说，1/3并不是一个浮点数。因为浮点数会对无限循环小数做舍入，这会损失精度。但是，它肯定是一个有理数。

在 Julia 中，有理数用于表示两个整数之间的精确比率。有理数的类型是Rational。它的值可以由操作符//来构造。代码如下：

  1. julia> 1//3
  2. 1//3
  4. julia> typeof(ans)
  5. Rational{Int64}
  7. julia>

在操作符//左侧的被称为分子，而在它右侧的被称为分母。注意，这两个数都只能是整数，而不能是浮点数。

如果在分子和分母之间存在公因数，那么 Julia 会自动地把它们化为最小项并让分母变为非负整数。例如：

  1. julia> 3//9
  2. 1//3
  4. julia> 3//-9
  5. -1//3
  7. julia> 42//126
  8. 1//3
  10. julia>

函数numerator和denominator可以让我们分别得到一个有理数的分子和分母：

  1. julia> rat1 = 1//3
  2. 1//3
  4. julia> numerator(rat1)
  5. 1
  7. julia> denominator(rat1)
  8. 3
  10. julia>

有理数可以参与标准的数学运算。比如，我们可以拿一个有理数与一个整数、浮点数或者其他有理数进行比较。又比如，我们可以对有理数进行加减乘数等运算。另外，有理数也可以很容易地被转换为浮点数。例如：

  1. julia> float(1//3) 
  2. 0.3333333333333333
  4. julia>

我在前面也说了，这实际上会存在精度上的损失。

最后，需要我们注意的是，0//0是不合法的。该字面量会引发一个错误。相应的，表示浮点数的字面量0/0等同于NaN。从技术标准的角度讲，NaN不与任何东西（包括它自己）相等。