6.6 通过时间反向传播

在前面两节中，如果不裁剪梯度，模型将无法正常训练。为了深刻理解这一现象，本节将介绍循环神经网络中梯度的计算和存储方法，即通过时间反向传播（back-propagation through time）。

我们在3.14节（正向传播、反向传播和计算图）中介绍了神经网络中梯度计算与存储的一般思路，并强调正向传播和反向传播相互依赖。正向传播在循环神经网络中比较直观，而通过时间反向传播其实是反向传播在循环神经网络中的具体应用。我们需要将循环神经网络按时间步展开，从而得到模型变量和参数之间的依赖关系，并依据链式法则应用反向传播计算并存储梯度。

6.6.1 定义模型

简单起见，我们考虑一个无偏差项的循环神经网络，且激活函数为恒等映射（

）。设时间步 的输入为单样本 ，标签为 ，那么隐藏状态 的计算表达式为

其中

和 是隐藏层权重参数。设输出层权重参数 ，时间步 的输出层变量 计算为

设时间步

的损失为 。时间步数为 的损失函数 定义为

我们将

称为有关给定时间步的数据样本的目标函数，并在本节后续讨论中简称为目标函数。

6.6.2 模型计算图

为了可视化循环神经网络中模型变量和参数在计算中的依赖关系，我们可以绘制模型计算图，如图6.3所示。例如，时间步3的隐藏状态

的计算依赖模型参数 、 、上一时间步隐藏状态 以及当前时间步输入 。

图6.3 时间步数为3的循环神经网络模型计算中的依赖关系。方框代表变量（无阴影）或参数（有阴影），圆圈代表运算符

6.6.3 方法

刚刚提到，图6.3中的模型的参数是

, 和 。与3.14节（正向传播、反向传播和计算图）中的类似，训练模型通常需要模型参数的梯度 、 和 。 根据图6.3中的依赖关系，我们可以按照其中箭头所指的反方向依次计算并存储梯度。为了表述方便，我们依然采用3.14节中表达链式法则的运算符prod。

首先，目标函数有关各时间步输出层变量的梯度

很容易计算：

下面，我们可以计算目标函数有关模型参数

的梯度 。根据图6.3， 通过 依赖 。依据链式法则，

其次，我们注意到隐藏状态之间也存在依赖关系。 在图6.3中，

只通过 依赖最终时间步 的隐藏状态 。因此，我们先计算目标函数有关最终时间步隐藏状态的梯度 。依据链式法则，我们得到

接下来对于时间步

, 在图6.3中， 通过 和 依赖 。依据链式法则， 目标函数有关时间步 的隐藏状态的梯度 需要按照时间步从大到小依次计算：

将上面的递归公式展开，对任意时间步

，我们可以得到目标函数有关隐藏状态梯度的通项公式

由上式中的指数项可见，当时间步数

较大或者时间步 较小时，目标函数有关隐藏状态的梯度较容易出现衰减和爆炸。这也会影响其他包含 项的梯度，例如隐藏层中模型参数的梯度 和 。 在图6.3中， 通过 依赖这些模型参数。 依据链式法则，我们有

我们已在3.14节里解释过，每次迭代中，我们在依次计算完以上各个梯度后，会将它们存储起来，从而避免重复计算。例如，由于隐藏状态梯度

被计算和存储，之后的模型参数梯度 和 的计算可以直接读取 的值，而无须重复计算它们。此外，反向传播中的梯度计算可能会依赖变量的当前值。它们正是通过正向传播计算出来的。 举例来说，参数梯度 的计算需要依赖隐藏状态在时间步 的当前值 （ 是初始化得到的）。这些值是通过从输入层到输出层的正向传播计算并存储得到的。

小结

• 通过时间反向传播是反向传播在循环神经网络中的具体应用。
• 当总的时间步数较大或者当前时间步较小时，循环神经网络的梯度较容易出现衰减或爆炸。

注：本节与原书基本相同，原书传送门