Unique Paths

描述

A robot is located at the top-left corner of a m × n grid (marked 'Start' in the diagram below).

The robot can only move either down or right at any point in time. The robot is trying to reach the bottom-right corner of the grid (marked 'Finish' in the diagram below).

How many possible unique paths are there?

Above is a `3 × 7` grid. How many possible unique paths are there?

Figure: Above is a 3 × 7 grid. How many possible unique paths are there?

Note: m and n will be at most 100.

深搜

  1. // Unique Paths
  2. // 深搜，小集合可以过，大集合会超时
  3. // 时间复杂度O(n^4)，空间复杂度O(n)
  4. class Solution {
  5. public:
  6.     int uniquePaths(int m, int n) {
  7.         if (m < 1 || n < 1) return 0; // 终止条件
  9.         if (m == 1 && n == 1) return 1; // 收敛条件
  11.         return uniquePaths(m - 1, n) + uniquePaths(m, n - 1);
  12.     }
  13. };

备忘录法

给前面的深搜，加个缓存，就可以过大集合了。即备忘录法。

  1. // Unique Paths
  2. // 深搜 + 缓存，即备忘录法
  3. // 时间复杂度O(n^2)，空间复杂度O(n^2)
  4. class Solution {
  5. public:
  6.     int uniquePaths(int m, int n) {
  7.         // f[x][y] 表示 从(0,0)到(x,y)的路径条数
  8.         f = vector<vector<int> >(m, vector<int>(n, 0));
  9.         f[0][0] = 1;
  10.         return dfs(m - 1, n - 1);
  11.     }
  12. private:
  13.     vector<vector<int> > f;  // 缓存
  15.     int dfs(int x, int y) {
  16.         if (x < 0 || y < 0) return 0; // 数据非法，终止条件
  18.         if (x == 0 && y == 0) return f[0][0]; // 回到起点，收敛条件
  20.         if (f[x][y] > 0) {
  21.             return f[x][y];
  22.         } else {
  23.             return f[x][y] = dfs(x - 1, y) +  dfs(x, y - 1);
  24.         }
  25.     }
  26. };

动规

既然可以用备忘录法自顶向下解决，也一定可以用动规自底向上解决。

设状态为f[i][j]，表示从起点(1,1)到达(i,j)的路线条数，则状态转移方程为：

  1. f[i][j]=f[i-1][j]+f[i][j-1]
  1. // Unique Paths
  2. // 动规，滚动数组
  3. // 时间复杂度O(n^2)，空间复杂度O(n)
  4. class Solution {
  5. public:
  6.     int uniquePaths(int m, int n) {
  7.         vector<int> f(n, 0);
  8.         f[0] = 1;
  9.         for (int i = 0; i < m; i++) {
  10.             for (int j = 1; j < n; j++) {
  11.                 // 左边的f[j]，表示更新后的f[j]，与公式中的f[i][j]对应
  12.                 // 右边的f[j]，表示老的f[j]，与公式中的f[i-1][j]对应
  13.                 f[j] = f[j] + f[j - 1];
  14.             }
  15.         }
  16.         return f[n - 1];
  17.     }
  18. };

数学公式

一个m行，n列的矩阵，机器人从左上走到右下总共需要的步数是m+n-2，其中向下走的步数是m-1，因此问题变成了在m+n-2个操作中，选择m–1个时间点向下走，选择方式有多少种。即 Cm+n−2m−1C_{m+n-2}^{m-1} 。

  1. // LeetCode, Unique Paths
  2. // 数学公式
  3. class Solution {
  4. public:
  5.     typedef long long int64_t;
  6.     // 求阶乘, n!/(start-1)!，即 n*(n-1)...start，要求 n >= 1
  7.     static int64_t factor(int n, int start = 1) {
  8.         int64_t  ret = 1;
  9.         for(int i = start; i <= n; ++i)
  10.             ret *= i;
  11.         return ret;
  12.     }
  13.     // 求组合数 C_n^k
  14.     static int64_t combination(int n, int k) {
  15.         // 常数优化
  16.         if (k == 0) return 1;
  17.         if (k == 1) return n;
  19.         int64_t ret = factor(n, k+1);
  20.         ret /= factor(n - k);
  21.         return ret;
  22.     }
  24.     int uniquePaths(int m, int n) {
  25.         // max 可以防止n和k差距过大，从而防止combination()溢出
  26.         return combination(m+n-2, max(m-1, n-1));
  27.     }
  28. };

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原文: https://soulmachine.gitbooks.io/algorithm-essentials/content/cpp/dfs/unique-paths.html