7.8. Adam算法

Adam算法在RMSProp算法基础上对小批量随机梯度也做了指数加权移动平均[1]。下面我们来介绍这个算法。

7.8.1. 算法

Adam算法使用了动量变量

7.8. Adam算法 - 图1 和RMSProp算法中小批量随机梯度按元素平方的指数加权移动平均变量 7.8. Adam算法 - 图2 ,并在时间步0将它们中每个元素初始化为0。给定超参数 7.8. Adam算法 - 图3 (算法作者建议设为0.9),时间步 7.8. Adam算法 - 图4 的动量变量 7.8. Adam算法 - 图5 即小批量随机梯度 7.8. Adam算法 - 图6 的指数加权移动平均:

7.8. Adam算法 - 图7

和RMSProp算法中一样,给定超参数

7.8. Adam算法 - 图8 (算法作者建议设为0.999),将小批量随机梯度按元素平方后的项 7.8. Adam算法 - 图9 做指数加权移动平均得到 7.8. Adam算法 - 图10

7.8. Adam算法 - 图11

由于我们将

7.8. Adam算法 - 图127.8. Adam算法 - 图13 中的元素都初始化为0,在时间步 7.8. Adam算法 - 图14 我们得到 7.8. Adam算法 - 图15 。将过去各时间步小批量随机梯度的权值相加,得到 7.8. Adam算法 - 图16 。需要注意的是,当 7.8. Adam算法 - 图17 较小时,过去各时间步小批量随机梯度权值之和会较小。例如,当 7.8. Adam算法 - 图18 时, 7.8. Adam算法 - 图19 。为了消除这样的影响,对于任意时间步 7.8. Adam算法 - 图20 ,我们可以将 7.8. Adam算法 - 图21 再除以 7.8. Adam算法 - 图22 ,从而使过去各时间步小批量随机梯度权值之和为1。这也叫作偏差修正。在Adam算法中,我们对变量 7.8. Adam算法 - 图237.8. Adam算法 - 图24 均作偏差修正:

7.8. Adam算法 - 图25

7.8. Adam算法 - 图26

接下来,Adam算法使用以上偏差修正后的变量

7.8. Adam算法 - 图277.8. Adam算法 - 图28 ,将模型参数中每个元素的学习率通过按元素运算重新调整:

7.8. Adam算法 - 图29

其中

7.8. Adam算法 - 图30 是学习率, 7.8. Adam算法 - 图31 是为了维持数值稳定性而添加的常数,如 7.8. Adam算法 - 图32 。和AdaGrad算法、RMSProp算法以及AdaDelta算法一样,目标函数自变量中每个元素都分别拥有自己的学习率。最后,使用 7.8. Adam算法 - 图33 迭代自变量:

7.8. Adam算法 - 图34

7.8.2. 从零开始实现

我们按照Adam算法中的公式实现该算法。其中时间步

7.8. Adam算法 - 图35 通过hyperparams参数传入adam函数。

  1. In [1]:
  1. %matplotlib inline
  2. import d2lzh as d2l
  3. from mxnet import nd
  4.  
  5. features, labels = d2l.get_data_ch7()
  6.  
  7. def init_adam_states():
  8. v_w, v_b = nd.zeros((features.shape[1], 1)), nd.zeros(1)
  9. s_w, s_b = nd.zeros((features.shape[1], 1)), nd.zeros(1)
  10. return ((v_w, s_w), (v_b, s_b))
  11.  
  12. def adam(params, states, hyperparams):
  13. beta1, beta2, eps = 0.9, 0.999, 1e-6
  14. for p, (v, s) in zip(params, states):
  15. v[:] = beta1 * v + (1 - beta1) * p.grad
  16. s[:] = beta2 * s + (1 - beta2) * p.grad.square()
  17. v_bias_corr = v / (1 - beta1 ** hyperparams['t'])
  18. s_bias_corr = s / (1 - beta2 ** hyperparams['t'])
  19. p[:] -= hyperparams['lr'] * v_bias_corr / (s_bias_corr.sqrt() + eps)
  20. hyperparams['t'] += 1

使用学习率为0.01的Adam算法来训练模型。

  1. In [2]:
  1. d2l.train_ch7(adam, init_adam_states(), {'lr': 0.01, 't': 1}, features,
  2. labels)
  1. loss: 0.243572, 0.407001 sec per epoch

../_images/chapter_optimization_adam_3_1.svg

7.8.3. 简洁实现

通过名称为“adam”的Trainer实例,我们便可使用Gluon提供的Adam算法。

  1. In [3]:
  1. d2l.train_gluon_ch7('adam', {'learning_rate': 0.01}, features, labels)
  1. loss: 0.242886, 0.253429 sec per epoch

../_images/chapter_optimization_adam_5_1.svg

7.8.4. 小结

  • Adam算法在RMSProp算法的基础上对小批量随机梯度也做了指数加权移动平均。
  • Adam算法使用了偏差修正。

7.8.5. 练习

  • 调节学习率,观察并分析实验结果。
  • 有人说Adam算法是RMSProp算法与动量法的结合。想一想,这是为什么?

7.8.6. 参考文献

[1] Kingma, D. P., & Ba, J. (2014). Adam: A method for stochasticoptimization. arXiv preprint arXiv:1412.6980.