DP 第一讲 - 爬楼梯

01、概念讲解

关于动态规划的资料很多,官方的定义是指把多阶段过程转化为一系列单阶段问题,利用各阶段之间的关系,逐个求解。概念中的各阶段之间的关系,其实指的就是状态转移方程。很多人觉得DP难(下文统称动态规划为DP),根本原因是因为DP跟一些固定形式的算法不同(比如DFS、二分法、KMP),它没有实际的步骤规定第一步、第二步来做什么,所以准确来说,DP其实是一种解决问题的思想


这种思想的本质是:一个规模比较大的问题(可以用两三个参数表示的问题),可以通过若干规模较小的问题的结果来得到的(通常会寻求到一些特殊的计算逻辑,如求最值等),如下图所示,一个大规模的问题由若干个子问题组成。


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那么我们应该如何通过子问题去得到大规模问题呢?这就用到了状态转移方程(上面有介绍状态转移方程哦,不懂的请往上翻哦),我们一般看到的状态转移方程,基本都是这样:

  1. opt :指代特殊的计算逻辑,通常为 max or min
  2. i,j,k 都是在定义DP方程中用到的参数。
  3. dp[i] = opt(dp[i-1])+1
  4. dp[i][j] = w(i,j,k) + opt(dp[i-1][k])
  5. dp[i][j] = opt(dp[i-1][j] + xi, dp[i][j-1] + yj, ...)


每一个状态转移方程,多少都有一些细微的差别。这个其实很容易理解,世间的关系多了去了,不可能抽象出完全可以套用的公式。所以我个人其实不建议去死记硬背各种类型的状态转移方程。但是DP的题型真的就完全无法掌握,无法归类进行分析吗?我认为不是的。在本系列中,我将由简入深为大家讲解动态规划这个主题。

02、题目分析

我们先看一道最简单的DP题目,熟悉DP的概念:

第70题:爬楼梯
假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢? 注意:给定 n 是一个正整数。

示例 1:

  1. 输入: 2 输出: 2 解释: 有两种方法可以爬到楼顶。
  2. 1. 1 + 1
  3. 2. 2

示例 2:

  1. 输入: 3 输出: 3 解释: 有三种方法可以爬到楼顶。
  2. 1. 1 + 1 + 1
  3. 2. 1 + 2
  4. 3. 2 + 1

03 、图解分析

通过分析我们可以明确,该题可以被分解为一些包含最优子结构的子问题,即它的最优解可以从其子问题的最优解来有效地构建。满足“将大问题分解为若干个规模较小的问题”的条件。所我们令 dp[n] 表示能到达第 n 阶的方法总数,可以得到如下状态转移方程:

dp[n]=dp[n-1]+dp[n-2]
  • 上 1 阶台阶:有1种方式。

  • 上 2 阶台阶:有1+1和2两种方式。

  • 上 3 阶台阶:到达第3阶的方法总数就是到第1阶和第2阶的方法数之和。

  • 上 n 阶台阶,到达第n阶的方法总数就是到第 (n-1) 阶和第 (n-2) 阶的方法数之和。


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04、GO语言示例

根据以上分析,可以得到代码如下:

  1. func climbStairs(n int) int {
  2. if n == 1 {
  3. return 1
  4. }
  5. dp := make([]int, n+1)
  6. dp[1] = 1
  7. dp[2] = 2
  8. for i := 3; i <= n; i++ {
  9. dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
  10. }
  11. return dp[n]
  12. }