7.5 优先级队列与堆排序

在很多应用中,我们通常需要按照优先级情况对待处理对象进行处理,比如首先处理优先级最高的对象,然后处理次高的对象。最简单的一个例子就是,在手机上玩游戏的时候,如果有来电,那么系统应该优先处理打进来的电话。

在这种情况下,我们的数据结构应该提供两个最基本的操作,一个是返回最高优先级对象,一个是添加新的对象。这种数据结构就是优先级队列(Priority Queue) 。

本文首先介绍优先级队列的定义,有序和无序数组以及堆数据结构实现优先级队列,最后介绍了基于优先级队列的堆排序(Heap Sort)

一 定义

优先级队列和通常的栈和队列一样,只不过里面的每一个元素都有一个”优先级”,在处理的时候,首先处理优先级最高的。如果两个元素具有相同的优先级,则按照他们插入到队列中的先后顺序处理。

优先级队列可以通过链表,数组,堆或者其他数据结构实现。

二 实现

数组

最简单的优先级队列可以通过有序或者无序数组来实现,当要获取最大值的时候,对数组进行查找返回即可。代码实现起来也比较简单,这里就不列出来了。

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如上图:

· 如果使用无序数组,那么每一次插入的时候,直接在数组末尾插入即可,时间复杂度为O(1),但是如果要获取最大值,或者最小值返回的话,则需要进行查找,这时时间复杂度为O(n)。

· 如果使用有序数组,那么每一次插入的时候,通过插入排序将元素放到正确的位置,时间复杂度为O(n),但是如果要获取最大值的话,由于元阿苏已经有序,直接返回数组末尾的 元素即可,所以时间复杂度为O(1).

所以采用普通的数组或者链表实现,无法使得插入和排序都达到比较好的时间复杂度。所以我们需要采用新的数据结构来实现。下面就开始介绍如何采用二叉堆(binary heap)来实现优先级队列

二叉堆

二叉堆是一个近似完全二叉树的结构,并同时满足堆积的性质:即子结点的键值或索引总是小于(或者大于)它的父节点。 有了这一性质,那么二叉堆上最大值就是根节点了。

二叉堆的表现形式:我们可以使用数组的索引来表示元素在二叉堆中的位置。

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从二叉堆中,我们可以得出:

· 元素k的父节点所在的位置为[k/2]

· 元素k的子节点所在的位置为2k和2k+1

跟据以上规则,我们可以使用二维数组的索引来表示二叉堆。通过二叉堆,我们可以实现插入和删除最大值都达到O(nlogn)的时间复杂度。

对于堆来说,最大元素已经位于根节点,那么删除操作就是移除并返回根节点元素,这时候二叉堆就需要重新排列;当插入新的元素的时候,也需要重新排列二叉堆以满足二叉堆的定义。现在就来看这两种操作。

从下至上的重新建堆操作: 如果一个节点的值大于其父节点的值,那么该节点就需要上移,一直到满足该节点大于其两个子节点,而小于其根节点为止,从而达到使整个堆实现二叉堆的要求。

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由上图可以看到,我们只需要将该元素k和其父元素k/2进行比较,如果比父元素大,则交换,然后迭代,一直到比父元素小为止。

  1. private static void Swim(int k)
  2. {
  3. //如果元素比其父元素大,则交换
  4. while (k > 1 && pq[k].CompareTo(pq[k / 2]) > 0)
  5. {
  6. Swap(pq, k, k / 2);
  7. k = k / 2;
  8. }
  9. }

这样,往堆中插入新元素的操作变成了,将该元素从下往上重新建堆操作:

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代码实现如下:

  1. public static void Insert(T s)
  2. {
  3. //将元素添加到数组末尾
  4. pq[++N] = s;
  5. //然后让该元素从下至上重建堆
  6. Swim(N);
  7. }

动画如下:

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由上至下的重新建堆操作:当某一节点比其子节点要小的时候,就违反了二叉堆的定义,需要和其子节点进行交换以重新建堆,直到该节点都大于其子节点为止:

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代码实现如下:

  1. private static void Sink(int k)
  2. {
  3. while (2 * k < N)
  4. {
  5. int j = 2 * k;
  6. //去左右子节点中,稍大的那个元素做比较
  7. if (pq[j].CompareTo(pq[j + 1]) < 0) j++;
  8. //如果父节点比这个较大的元素还大,表示满足要求,退出
  9. if (pq[k].CompareTo(pq[j]) > 0) break;
  10. //否则,与子节点进行交换
  11. Swap(pq, k, j);
  12. k = j;
  13. }
  14. }

这样,移除并返回最大元素操作DelMax可以变为:

\1. 移除二叉堆根节点元素,并返回

\2. 将数组中最后一个元素放到根节点位置

\3. 然后对新的根节点元素进行Sink操作,直到满足二叉堆要求。

移除最大值并返回的操作如下图所示:

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以上操作的实现如下:

  1. public static T DelMax()
  2. {
  3. //根元素从1开始,0不存放值
  4. T max = pq[1];
  5. //将最后一个元素和根节点元素进行交换
  6. Swap(pq, 1, N--);
  7. //对根节点从上至下重新建堆
  8. Sink(1);
  9. //将最后一个元素置为空
  10. pq[N + 1] = default(T);
  11. return max;
  12. }

动画如下:

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三 堆排序

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概念

运用二叉堆的性质,可以利用它来进行一种就地排序,该排序的步骤为:

  1. 使用序列的所有元素,创建一个最大堆。

  2. 然后重复删除最大元素。

如下图,以对S O R T E X A M P L E 排序为例,首先本地构造一个最大堆,即对节点进行Sink操作,使其符合二叉堆的性质。

然后再重复删除根节点,也就是最大的元素,操作方法与之前的二叉堆的删除元素类似。

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创建最大二叉堆

使用至下而上的方法创建二叉堆的方法为,分别对叶子结点的上一级节点以重上之下的方式重建堆。

代码如下:

  1. for (int k = N / 2; k >= 1; k--)
  2. {
  3. Sink(pq, k, N);
  4. }

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排序

利用二叉堆排序其实就是循环移除顶部元素到数组末尾,然后利用Sink重建堆的操作。如下图,实现代码如下:

  1. while (N > 1)
  2. {
  3. Swap(pq, 1, N--);
  4. Sink(pq, 1, N);
  5. }

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堆排序的动画如下:

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分析

  1. 在构建最大堆的时候,最多需要2N次比较和交换

  2. 堆排序最多需要2NlgN次比较和交换操作

优点:堆排序最显著的优点是,他是就地排序,并且其最坏情况下时间复杂度为NlogN。经典的合并排序不是就地排序,它需要线性长度的额外空间,而快速排序其最坏时间复杂度为N2

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缺点:堆排序对时间和空间都进行了优化,但是:

  1. 其内部循环要比快速排序要长。

  2. 并且其操作在N和N/2之间进行比较和交换,当数组长度比较大的时候,对CPU缓存利用效率比较低。

  3. 非稳定性排序。

四 排序算法的小结

本文及前面文章介绍了选择排序,插入排序,希尔排序,合并排序,快速排序以及本文介绍的堆排序。各排序的稳定性,平均,最坏,最好的时间复杂度如下表:

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可以看到,不同的排序方法有不同的特征,有的速度快,但是不稳定,有的稳定,但是不是就地排序,有的是就地排序,但是最坏情况下时间复杂度不好。那么有没有一种排序能够集合以上所有的需求呢?

五 结语

本文介绍了二叉堆,以及基于二叉堆的堆排序,他是一种就地的非稳定排序,其最好和平均时间复杂度和快速排序相当,但是最坏情况下的时间复杂度要优于快速排序。但是由于他对元素的操作通常在N和N/2之间进行,所以对于大的序列来说,两个操作数之间间隔比较远,对CPU缓存利用不太好,故速度没有快速排序快。

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