题目描述（简单难度）

258. Add Digits - 图1

将给定的数字的各个位相加得到新的数字，一直重复这个过程，直到这个数小于 10，将这个数输出。

解法一

开始有点不明所以，直接用递归或者循环按照题目的意思写不就行了吗，先用递归尝试了一下。

  1. public int addDigits(int num) {
  2.     if (num < 10) {
  3.         return num;
  4.     }
  5.     int next = 0;
  6.     while (num != 0) {
  7.         next = next + num % 10;
  8.         num /= 10;
  9.     }
  10.     return addDigits(next);
  11. }

没想到直接通过了，上边的递归很简单可以直接写成迭代的形式。

  1. public int addDigits(int num) {
  2.     while (num >= 10) {
  3.         int next = 0;
  4.         while (num != 0) {
  5.             next = next + num % 10;
  6.             num /= 10;
  7.         }
  8.         num = next;
  9.     }
  10.     return num;
  11. }

解法二 数学上

看了下 Discuss ，原来要求的数叫做数字根，看下 维基百科 的定义。

在数学中，数根(又称位数根或数字根Digital root)是自然数的一种性质，换句话说，每个自然数都有一个数根。

数根是将一正整数的各个位数相加（即横向相加），若加完后的值大于10的话，则继续将各位数进行横向相加直到其值小于十为止[1]，或是，将一数字重复做数字和，直到其值小于十为止，则所得的值为该数的数根。

例如54817的数根为7，因为5+4+8+1+7\=25，25大于10则再加一次，2+5\=7，7小于十，则7为54817的数根。

然后是它的用途。

数根可以计算模运算的同余，对于非常大的数字的情况下可以节省很多时间。

数字根可作为一种检验计算正确性的方法。例如，两数字的和的数根等于两数字分别的数根的和。

另外，数根也可以用来判断数字的整除性，如果数根能被3或9整除，则原来的数也能被3或9整除。

接下来讨论我们怎么求出树根。

我们把 1 到 30 的树根列出来。

  1. 原数: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
  2. 数根: 1 2 3 4 5 6 7 8 9  1  2  3  4  5  6  7  8  9  1  2  3  4  5  6  7  8  9  1  2  3

可以发现数根 9 个为一组， 1 - 9 循环出现。我们需要做就是把原数映射到树根就可以，循环出现的话，想到的就是取余了。

结合上边的规律，对于给定的 n 有三种情况。

n 是 0 ，数根就是 0。

n 不是 9 的倍数，数根就是 n 对 9 取余，即 n mod 9。

n 是 9 的倍数，数根就是 9。

我们可以把两种情况统一起来，我们将给定的数字减 1，相当于原数整体向左偏移了 1，然后再将得到的数字对 9 取余，最后将得到的结果加 1 即可。

原数是 n，树根就可以表示成 (n-1) mod 9 + 1，可以结合下边的过程理解。

  1. 原数: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
  2. 偏移: 0 1 2 3 4 5 6 7 8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
  3. 取余: 0 1 2 3 4 5 6 7 8  0  1  2  3  4  5  6  7  8  0  1  2  3  4  5  6  7  8  0  1  2  
  4. 数根: 1 2 3 4 5 6 7 8 9  1  2  3  4  5  6  7  8  9  1  2  3  4  5  6  7  8  9  1  2  3

所以代码的话其实一句就够了。

  1. public int addDigits(int num) {
  2.     return (num - 1) % 9 + 1;
  3. }

当然上边是通过找规律得出的方法，我们需要证明一下。知乎的最高赞 讲的很清楚了，我再把推导和上边的公式一起说一下。

下边是作者的推导。

258. Add Digits - 图2

上边证明了对原数做一个 f 操作，也就是各个位上的数相加，然后不停的做 f 操作，最终的结果对 9 取余和原数 x 对 9 取余是相等的。

不考虑 0这种特殊情况，不停的做 f 操作，最终得到的数就是 1 - 9，对 9取余的结果是 1 - 8 和 0。结果是 0 的话对应数根就是 9，其他情况的数根就是取余结果。

也就是我们之前讨论的。

n 是 0 ，数根就是 0。

n 不是 9 的倍数，数根就是 n 对 9 取余，即 n mod 9。

n 是 9 的倍数，数根就是 9。

同样的，我们可以通过 (n-1) mod 9 + 1 这个式子把上边的几种情况统一起来。

总

这道题的话如果用程序的话很好解决，就是不停的循环即可。解法二数学上的话就很神奇了，一般也不会往这方面想了。

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