题目描述(简单难度)

191. Number of 1 Bits - 图1

给一个数字,求出其二进制形式中 1 的个数。

解法一

简单粗暴些,依次判断最低位是否是 1,然后把它加入到结果中。判断最低位是否是 1,我们只需要把原数字和 000000..001 相与,也就是和 1 相与即可。

  1. public int hammingWeight(int n) {
  2. int count = 0;
  3. while (n != 0) {
  4. count += n & 1;
  5. n >>>= 1;
  6. }
  7. return count;
  8. }

解法二

比较 trick 的方法,官方 题解提供的,分享一下。

有一个方法,可以把最右边的 1 置为 0,举个具体的例子。

比如十进制的 10,二进制形式是 1010,然后我们只需要把它和 9 进行按位与操作,也就是 10 & 9 = (1010) & (1001) = 1000,也就是把 1010 最右边的 1 置为 0

规律就是对于任意一个数 n,然后 n & (n-1) 的结果就是把 n 的最右边的 1 置为 0

也比较好理解,当我们对一个数减 1 的话,比如原来的数是 ...1010000,然后减一就会向前借位,直到遇到最右边的第一个 1,变成 ...1001111,然后我们把它和原数按位与,就会把从原数最右边 1 开始的位置全部置零了 ...10000000

有了这个技巧,我们只需要把原数依次将最右边的 1 置为 0,直到原数变成 0,记录总共操作了几次即可。

  1. public int hammingWeight(int n) {
  2. int count = 0;
  3. while (n != 0) {
  4. n &= (n - 1);
  5. count += 1;
  6. }
  7. return count;
  8. }

解法三

有点类似于 190 题 的解法二,通过整体的位操作解决问题,参考 这里-by-time-m-is-the-count-of-1’s-and-another-several-method-of-O(1)-time) ,也是比较 trick 的,不容易想到,但还是很有意思的。

本质思想就是用本身的比特位去记录对应位数的比特位 1 的个数,举个具体的例子吧。为了简洁,求一下 8 比特的数字中 1 的个数。

  1. 统计数代表对应括号内 1 的个数
  2. 1 1 0 1 0 0 1 1
  3. 首先把它看做 8 组,统计每组 1 的个数
  4. 原数字:(1) (1) (0) (1) (0) (0) (1) (1)
  5. 统计数:(1) (1) (0) (1) (0) (0) (1) (1)
  6. 每个数字本身,就天然的代表了当前组 1 的个数。
  7. 接下来看做 4 组,相邻两组进行合并,统计数其实就是上边相邻组统计数相加即可。
  8. 原数字:(1 1) (0 1) (0 0) (1 1)
  9. 统计数:(1 0) (0 1) (0 0) (1 0)
  10. 十进制: 2 1 0 2
  11. 接下来看做 2 组,相邻两组进行合并,统计数变成上边相邻组统计数的和。
  12. 原数字:(1 1 0 1) (0 0 1 1)
  13. 统计数:(0 0 1 1) (0 0 1 0)
  14. 十进制: 3 2
  15. 接下来看做 1 组,相邻两组进行合并,统计数变成上边相邻组统计数的和。
  16. 原数字:(1 1 0 1 0 0 1 1)
  17. 统计数:(0 0 0 0 0 1 0 1)
  18. 十进制: 5

看一下 「统计数」的变化,也就是统计的 1 的个数。

看下二进制形式的变化,两两相加。

191. Number of 1 Bits - 图2

看下十进制形式的变化,两两相加。

191. Number of 1 Bits - 图3

最后我们就的得到了 1 的个数是 5

所以问题的关键就是怎么实现每次合并相邻统计数,我们可以通过位操作实现,举个例子。

比如上边 4 组到 2 组中的前两组合成一组的变化。要把 (1 0) (0 1) 两组相加,变成 (0 0 1 1) 。其实我们只需要把 10010011 相与得到低两位,然后把 1001 右移两位再和 0011 相与得到高两位,最后将两数相加即可。也就是(1001) & (0011) + (1001) >>> 2 & (0011)= 0011

扩展到任意情况,两组合并成一组,如果合并前每组的个数是 n,合并前的数字是 x,那么合并后的数字就是 x & (000...111...) + x >>> n & (000...111...),其中 01 的个数是 n

  1. public int hammingWeight(int n) {
  2. n = (n & 0x55555555) + ((n >>> 1) & 0x55555555); // 32 组向 16 组合并,合并前每组 1 个数
  3. n = (n & 0x33333333) + ((n >>> 2) & 0x33333333); // 16 组向 8 组合并,合并前每组 2 个数
  4. n = (n & 0x0f0f0f0f) + ((n >>> 4) & 0x0f0f0f0f); // 8 组向 4 组合并,合并前每组 4 个数
  5. n = (n & 0x00ff00ff)+ ((n >>> 8) & 0x00ff00ff); // 4 组向 2 组合并,合并前每组 8 个数
  6. n = (n & 0x0000ffff) + ((n >>> 16) & 0x0000ffff); // 2 组向 1 组合并,合并前每组 16 个数
  7. return n;
  8. }

写成 16 进制可能不好理解,我们拿16 组向 8 组合并举例,合并前每组 2 个数。也就是上边我们推导的,我们要把 (1 0) (0 1) 两组合并,需要和 0011 按位与,写成 16 进制就是 3,因为合并完是 8 组,所以就是 83,即 0x33333333

解法一比较常规,解法二很技巧,解法三就更加技巧了,但想法很强。这几天都是操作二进制数,只要对一些位操作了解,常规解法只要按照题目意思还原过程即可。

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