一、贝叶斯定理

1.1 贝叶斯定理

1. 设 为试验 的样本空间； 为 的一组事件。若 ：

   • 
   • 

   则称 为样本空间 的一个划分。

2. 如果 为样本空间 的一个划分，则对于每次试验，事件 中有且仅有一个事件发生。

3. 全概率公式 ：设试验 的样本空间为 ， 为 的事件， 为样本空间 的一个划分，且 。则有：

   

4. 贝叶斯定理 ：设试验 的的样本空间为 ， 为 的事件， 为样本空间 的一个划分，且 ，则有： 。

1.2 先验概率、后验概率

1. 先验概率：根据以往经验和分析得到的概率。

   后验概率：根据已经发生的事件来分析得到的概率。

2. 例：假设山洞中有熊出现的事件为 ，山洞中传来一阵熊吼的事件为 。

   • 山洞中有熊的概率为 。它是先验概率，根据以往的数据分析或者经验得到的概率。
   • 听到熊吼之后认为山洞中有熊的概率为 。它是后验概率，得到本次试验的信息从而重新修正的概率。