一、概率与分布

1.1 条件概率与独立事件

1. 条件概率：已知 事件发生的条件下 发生的概率，记作 ，它等于事件 的概率相对于事件 的概率，即： 。其中必须有 。

2. 条件概率分布的链式法则：对于 个随机变量 ，有：

   

3. 两个随机变量 相互独立的数学描述： 。记作： 。

4. 两个随机变量 关于随机变量 条件独立的数学描述： 。

   记作： 。

1.2 联合概率分布

1. 定义 和 的联合分布为： 。

   • 的分布可以从联合分布中得到：

     

   • 的分布可以从联合分布中得到：

     

2. 当 和 都是离散随机变量时， 定义 和 的联合概率质量函数为：

   则 和 的概率质量函数分布为：

   

3. 当 和 联合地连续时，即存在函数 ，使得对于所有的实数集合 和 满足：

   

   则函数 称为 和 的概率密度函数。

   • 联合分布为： 。

   • 和 的分布函数以及概率密度函数分别为：

     

     .